Matemáticas

¿Te atreves a desafiarlo? 

¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco dos, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?.

 Solución aquí

Mónica Sánchez Parra

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Curiosidades sobre el numero 142857

· Multiplicamos 142857 por 7 y nos da cómo resultado un número muy curioso: 7 * 142857 = 999999

· Multiplicamos 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 y así sucesivamente y nos da cómo resultado una serie de números que contienen los mismos dígitos en el mismo orden, cómo se ve a continuación:
1 *142857 = 142857
2 * 142857 = 285714
3 * 142857 = 428571
4 * 142857 = 571428
5 * 142857 = 714285
6 * 142857 = 857142

Cabe destacar que esto no es sólo una curiosidad: tiene que ver mucho con la cuadratura del círculo, con música, química, colores..

Para mas información pinchen aquí.

Mónica Sánchez Parra

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Suspender matemáticas

Suspendida por desear que Osama Bin Laden mate al profesor de matemáticas

A los 13 años de edad, fue suspendida por cinco días después que publicó en Facebook, que deseaba que Osama Bin Laden mate a su maestro de matemáticas. Shayne Dell’Isola, se siente avergonzada por el incidente y dijo que tiene miedo de regresar a la escuela después de su suspensión.

El castigo por este incidente debe ser manejado por un padre, no por la escuela, argumentó su madre. La adolescente quiere quedarse en casa porque tiene miedo de ver a la cara al maestro, añadió. “Está ansiosa por regresar y aterrorizada de volver, todo al mismo tiempo”, dijo Dell’Isola. El distrito escolar declinó comentar sobre el tema, citando restricciones de privacidad de la estudiante.

Cristina Muñoz Balsera.

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Cosas matemáticas curiosas

Dicen que las matemáticas son divertidas, solo en ciertos momentos, cuando sabes resolver algún problema o alguna ecuación, pero ¿y si no encontramos la solución? ¿Como reaccionamos? Aquí os dejo un vídeo con las mejores,aquí os dejo algunas respuestas que ponen los alumnos de bachiller y la carrera de matemáticas.

                                                                         Alicia Rabadán Cobos

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Simple método de multiplicación

Mónica Sánchez Parra

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MATEMÁTICAS EN EGIPTO.

¿QUE PENDIENTE PRESENTAN LAS PIRAMIDES?


 Tras el trazado de la base cuadrada de una pirámide los escribas se enfrentaban a las cuestiones del volumen a través de un primer problema: Determinar la pendiente que deben tener las paredes laterales y mantener dicha pendiente a lo largo de toda la construcción.
   Hasta llegar a la monumental pirámide de Keops los arquitectos egipcios hubieron de construir otras pirámides que denotan cambios de planes y diferentes criterios empleados. Las tres pirámides del antecesor de Keops, el rey Esnofru (2625 - 2585), son el mejor ejemplo de la diversidad de intentos producidos. La primera, levantada en Meidum y que probablemente comenzara su padre Huni, tiene una elevada pendiente de 51º 50' que provocó posteriormente su hundimiento parcial. El propio Esnofru comenzó a levantar otra en Dashur de 54º 27' de pendiente, aún más vertical que la de su padre, lo que condujo además, dadas sus mayores dimensiones en la base, a que el volumen de piedra combara la estructura interna de la pirámide. Es por ello que, en un intento de acabarla a toda costa, la pendiente disminuye abruptamente a una cierta altura transformándose en otra más suave de 43º 22' que permite su conclusión a una altura menor que la originalmente prevista.
  Finalmente, la tercera pirámide de Esnofru se levanta en la propia llanura de Dashur y, siendo la definitiva, resulta con una pendiente igual a aquélla con la que se acabó la pirámide anterior (43º 22') lo que hace que no presente ningún problema de sobrepeso (de hecho se sigue conservando en buen estado) y la estructura interna (en particular, los techos en saledizo que siempre comportan una cierta inestabilidad) no se resienta. Sin embargo, resulta algo aplanada respecto al prototipo de pirámide, la de su hijo Keops, que vuelve a una pendiente de 51º 50' que aún será superada por la de sucesor Kefrén (53º 7'). El volumen de piedra que ello comporta obligará a realizar unas estructuras de sostenimiento de las cámaras funerarias de gran envergadura. En líneas generales las pendientes en las pirámides del Imperio Antiguo oscilarán entre estos valores extremos con la excepción de los 56º 18' alcanzados por la pirámide de Unas (2371 - 2350).

    ¿Cómo se hallaba la pendiente de una pirámide?
   Uno de los problemas básicos de los constructores de pirámides consistía en mantener la pendiente en las cuatro caras simultáneamente dado que una variación provocada por piedras mal talladas comportaría que las cuatro caras no llegaran a converger en el vértice. Por tanto, la pendiente debía mantenerse no sólo en la base de las cuatro caras sino en todos los puntos de dichas caras laterales. El procedimiento podría basarse en conservar constante el ángulo suplementario hasta los 180º marcados por la horizontal. Para ello, un aparato de estructura triangular y con un ángulo que, si la pendiente deseada fuera de 51º, resultaría de 129º, se colocaría tanto en la base de la pirámide (y la horizontal quedaría garantizada por el suelo) como en cualquier otro punto de la pared lateral (y entonces la horizontal habría de garantizarse con un nivel de agua, por ejemplo).
   La pendiente de la pirámide no estaba en aquel tiempo medida en grados ni minutos, herencia de la astronomía mesopotámica que nos han transmitido los griegos. Los antiguos egipcios utilizaban el ‘seked’ que puede definirse como el número de palmos horizontales que corresponden en la base de la pirámide a 1 codo vertical en su altura. A partir de esta definición pueden plantearse al menos dos problemas:

• Conociendo la base y la altura, calcular el seked de la pirámide.
• Conociendo la base y el seked, averiguar la altura que alcanzará la pirámide.

  Así, el problema 56 del papiro Rhind plantea el primer caso en estos términos:

Ejemplo de calcular una pirámide cuyo lado de la base es 360 [codos] y cuya altura es 250 [codos]. Quiero conocer su seked

El procedimiento es sencillo y se va a repetir en varios problemas más del papiro:

• Dividir el lado de la base por la mitad, 1/2 de 360 son 180 codos al objeto de formar un triángulo rectángulo.
• Dividir 180 entre la altura 250, dando en este caso 1/2 1/5 1/50 , que resulta la longitud horizontal que corresponde a la unidad vertical en la unidad que fuere y todo ello dentro de un triángulo rectángulo semejante al anterior.
• La cantidad 1/2 1/5 1/50 son también los palmos horizontales que corresponden a un palmo vertical. Como un codo vertical son los 7 palmos que caracterizan el componente vertical del seked, habrá que multiplicar por 7 la cantidad anterior para obtener dicho seked:
                                                   7 x 1/2 1/5 1/50 = 5 1/25

  La segunda cuestión es presentada del siguiente modo en el problema 59b del mismo papiro:

Si construyes una pirámide cuyo lado de la base es 12 [codos] y con un seked de 5 palmos 1 dedo, ¿cuál es la altura?

   El carácter de ejercicio escolar en este problema se observa en la irreal dimensión de la base (12 codos). No obstante, se puede asegurar que éste debía ser uno de los problemas más frecuentemente planteados en el comienzo de la construcción, ya que las dimensiones de la base eran una de las primeras acciones del arquitecto así como la determinación de la pendiente, por lo que la altura final relacionada con los datos anteriores era, en ese momento inicial, algo impreciso pero calculable como se puede apreciar por el procedimiento del escriba:

• Multiplica por dos el seked con el objeto de considerar la base entera en ves de su mitad como incluye la definición del seked: 2 x 5 1/4 = 10 1/2  dado que un palmo equivale a cuatro dedos.
• Dividir 7 entre 10 1/2 para reducir el resultado a la relación entre las mismas unidades, es decir, 7 : 10 1/2 = b

   Esta es la cantidad que se multiplica por el lado entero de la base: b x 12 = 8 codos

   ¿Supieron hallar el volumen de una pirámide?
   El problema geométrico más complejo abordado por los egipcios y del que haya quedado constancia es el cálculo del volumen del tronco de pirámide o ‘pirámide truncada’. Su necesidad está evidentemente relacionada con el conocimiento del volumen de piedra necesario hasta determinada altura de la pirámide. El papiro Moscú incluye dicho cálculo exponiendo una serie de reglas sucesivas que coinciden básicamente con las realizadas actualmente, nada elementales para aquella época. Dentro de ellas una cuestión previa que llamó la atención desde el principio fue la aparición del término 1/3 en la relación de los volúmenes y que, dada la corrección con que se aplica durante el procedimiento, sólo puede estar motivada por el conocimiento previo de que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen del paralelepípedo de la misma base e igual altura que la pirámide.
   Sobre este particular se han sugerido procedimientos extremadamente empíricos como es el de construir modelos en madera cuyo peso se compare o recipientes de tal forma llenos de arena cuyo contenido se pesa con el mismo objetivo. Observando la complejidad que podían alcanzar distintos cálculos entre los escribas egipcios podemos afirmar que estas posibilidades son improbables. Aquí se expondrá un método para hallar la relación de 1/3 entre ambos volúmenes basado en la descomposición del paralelepípedo en diversos prismas (poliedros limitados por dos polígonos iguales y por varios paralelogramos).   La descomposición propuesta consiste en trazar la pirámide interior al paralelepípedo distinguiendo entre dicha pirámide y el resto del paralelepípedo. Si el paralelepípedo se divide en cuatro prismas triangulares iguales trazando las diagonales de sus caras superior e inferior se podrá diferenciar cada uno de estos prismas que, a su vez, comprende una cuarta parte de la pirámide original en forma de un tetraedro recto. Si el resto del prisma triangular se divide en dos tetraedros iguales mediante la subdivisión por la diagonal de su cara rectangular uno de ellos es claramente igual (por tener la misma base e igual altura) que el tetraedro parte de la pirámide original. En consecuencia, la parte de la pirámide resulta ser de un volumen mitad que el resto del prisma triangular o, en otras palabras, la tercera parte del volumen total correspondiente al prisma recto. Como esta relación se repite en cada uno de los cuatro prismas triangulares en que se ha descompuesto el paralelepípedo la relación global se mantendrá: El volumen de la pirámide es la tercera parte del paralelepípedo de igual base e idéntica altura.

   ¿De qué forma dedujeron el volumen del tronco de pirámide?
   El problema de calcular el volumen del tronco de pirámide, tal como enuncian los propios egipcios, se plantea del siguiente modo en el problema 14 del papiro de Moscú::

Ejemplo de calcular una pirámide truncada. Si te dicen: ‘Una pirámide de 6 de altura por 4 de base [el cuadrado inferior] por 2 de arriba [el cuadrado superior]'

que es resuelto mediante una serie de pasos sucesivos:

• Haces el cuadrado de este 4; el resultado es 16.
• Es el doble de 4 [multiplicar 4 por 2]; el resultado es 8.
• Haces el cuadrado de este 2; el resultado es 4.
• Añades el 16 y el 8 y el 4; el resultado es 28.
• Tomas de 6; el resultado es 2.
• Tomas 28 dos veces; el resultado es 56.
• Fíjate, [el volumen] es 56. Encuentras [que esto es] correcto.

  Considerando que el tronco de pirámide tiene una base inferior cuadrada de lado a y una superior de lado b y siendo la altura h, los pasos del escriba suponen hacer lo siguiente:

• a ²
• a x b
• b ²
• a ² + a x b + b ²
• 1/3 x h 
• V = 1/3 x h x ( a ² + a x b + b ² )

que es exactamente la expresión actual para alcanzar este volumen. Aunque la presencia de 1/3 ya ha sido comentada, la construcción de este conjunto de reglas y las relaciones que establece son de origen impreciso.        Se han estudiado dos posibilidades de naturaleza distinta: Mientras la primera se apoya de nuevo en la descomposición del tronco de pirámide en distintos sólidos relativamente sencillos de manipular, la segunda posibilidad parte de una idea más inmediata (la diferencia entre la pirámide a construir y la pirámide que queda por levantar) pero justifica de forma más imprecisa el alcanzar finalmente el conjunto de reglas del escriba.   Considérese una visión desde arriba de la pirámide truncada de manera que supongamos los cortes que aparecen en la figura. Estos cortes provocarán la aparición de un paralelepípedo central, cuatro prismas triangulares y cuatro pirámides rectas en las esquinas. El paralelepípedo central tendrá de volumen V₁ = b² @ h
mientras que los prismas triangulares tienen por cara inferior un rectángulo de dimensiones b por 1/2 (a - b) siendo su volumen fácil de calcular. De todas maneras, como son cuatro de estos prismas se pueden añadir unos a otros hasta formar un paralelepípedo que tiene una base rectangular de dimensiones b y (a - b), resultando en total de volumen                                                           V₂ = b x (a - b) x h = (a b - b² ) x h
pudiéndose unir al paralelepípedo de volumen V₁ encontrándose que el resultante tendría por volumen:                                                         V₁ + V₂ = b x (a - b + b) x h = a x b x h
  Conociendo el volumen de una pirámide se podrá deducir el correspondiente a las pirámides de las esquinas, cada una de las cuales tiene por base un cuadrado de lado 1/2 (a - b) y altura h. Habida cuenta que hay un total de cuatro el volumen total de estas pirámides supondrá:                                       V₃ = 4 x 1/3 x [ 1/2 (a - b)] ² x h = 1/3 x (a² + b² - 2 a b) x h
alcanzándose finalmente un volumen final del tronco de pirámide de                                        V_f = h/3 x (3 a b + a² + b² - 2 a b) = h/3 x (a² + b² + a b)
   De todas formas, la manera que parece más inmediata para calcular este volumen consiste en partir del correspondiente a la pirámide total y restarle el volumen de la pirámide que se levanta sobre el corte superior del tronco. Sin embargo, dicho cálculo no es elemental. Esta diferencia sería:
            V  =  1/3 a² k - 1/3 b² m  =  1/3 a² (h + m) - 1/3 b² m  =  1/3 a² h + 1/3 a² m - 1/3 b² m
llegando a la misma expresión del tronco de pirámide.
  La aproximación a la fórmula general puede haber sido un proceso basado en la consideración de casos particulares especialmente sencillos. Si se considerase que la pirámide se trunca en la mitad de la altura total, h = m y la expresión general anterior daría lugar a:
                                             V  =  h/3 (a² + a² - b² )   Considérense los dos últimos términos de los tres encerrados entre paréntesis, es decir, a² - b², que resulta ser la diferencia entre las dos áreas de las bases cuadradas. Si se corta de la grande la pequeña, el resultado será de a² - b² = a b + b² de manera que sustituyendo en la última expresión queda la fórmula del volumen del tronco de pirámide                             V = h/3 ( a² + a b + b² )   Si la pirámide, en otro caso, se trunca a una altura de 2/3 de su altura total, la altura de la pirámide pequeña es la mitad del tronco de pirámide, es decir,   m = 1/2 h.   Por la resta de las dos pirámides se tendrá entonces que:
                      V = 1/3 a² h + 1/3 a² 1/2 h - 1/3 b² 1/2 h  =  h/3 ( a² + 1/2 (a² - b² ) )   Se puede examinar el segundo sumando encerrado entre paréntesis de una forma similar a la anterior, de manera que se encontraría que                    a² - b² = 2 a b + 2 b²  de forma que     1/2 (a² - b²) = a b + b²     llegándose a la misma expresión del tronco de pirámide.


Victoria Pavón Molero.
Fuente: http://personal.us.es/cmaza/egipto/volumen2.htm
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Paradoja de Zenón

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento (física). Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible

Ejemplo de Aquiles y la tortuga.

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Manuel Angel Ruiz Heras

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Acertijos matemáticos

¿Cuál es el número que si le quitas la mitad vale cero?

Respuesta: el número 8

Si digo cinco por ocho cuarenta, más dos, igual a cuarenta y cuatro. ¿Es verdad o mentira?

Respuesta: Es verdad ya que 5 x 8,40 + 2 = 44

Si estás participando en una carrera y antes de llegar a la meta, adelantas al segundo, ¿en qué posición terminarás la carrera?

Respuesta: Segundo

Dos padres van al cine. Cada uno de ellos va acompañado con un hijo. Compran sólo tres entradas y pasan sin problemas, ¿cómo lo hicieron?

Respuesta: Son abuelo, hijo y nieto

Tengo tantas hermanas como hermanos, pero mis hermanos tienen la mitad de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos somos?

Respuesta: Somos 3 hermanos y 4 hermanas

   Tamara Rodríguez López

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¿Saben matemáticas las abejas?
 

Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?....

Mónica Sánchez Parra

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¿Que son las matemáticas?

 El término matemáticas viene del griego "máthema", que quiere decir aprendizaje, estudio y ciencia. Y justamente las matemáticas son una disciplina académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, estructura y el cambio.

Aunque algunos las consideran como una ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que esta inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones más comunes se lleva a cabo en la Física.

La historia de las matemáticas comienza con la primera gran "abstracción", que es el desarrollo de los números y el contar. Los orígenes de esta disciplina vienen dados por una necesidad bastante básica: la necesidad de contar objetos físicos para el comercio (en sus inicios el trueque), para clasificar extensiones de territorio y para realizar asociaciones relacionadas con los astros. Por supuesto que la siguiente necesidad fue la de realizar operaciones básicas con estos números, para poder hacer predicciones básicas: el sumar, restar, multiplicar y dividir.

La refinación de todos estos conceptos básicos lo podemos ver a través de la línea del tiempo en todas las culturas, en libros provenientes de la antigua India, Egipto, Mesopotamia y Grecia. Posteriormente, en el siglo XVI, mediante la interacción entre los nuevos descubrimientos científicos y las matemáticas, es que el desarrollo de la disciplina se vio ampliamente acelerado, llegando a ser una de las fundaciones del conocimiento científico que poseemos hoy en día. De hecho cuando hablamos de "matemáticas aplicadas", nos referimos al uso de las mismas en el contexto específicos de las diversas ciencias, y también en relación con otros ámbitos.

  

Manuel Luis López Montero

Fuente: http://www.misrespuestas.com/que-son-las-matematicas.html